斜方投射とは？？【公式・導出などわかりやすく解説】

力学

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こんにちは、ほーたです。

今回は斜方投射について。

考え方は水平投射と同じです。

だから水平投射を勉強した人にはよゆーですね。

初めての方はしっかり勉強して、今日マスターしてしましょう。

これを読む前に加速度運動の考え方と運動の独立性、放物運動の考え方の記事を読んでから、こちらを読むのをお勧めします。

【合わせて読みたい】

等加速度運動の考え方

→等加速度運動と等速直線運動についてわかりやすく解説します

運動の独立性、放物運動の考え方

→放物運動の水平投射とは？？公式や導出などわかりやすく解説します

この記事で身につくこと

公式を覚えずとも運動の独立性をもちいて、斜方投射の問題を扱えるようになる。

斜方投射

斜方投射運動とは物体を斜めに投げる運動のことをいいます。

この運動も放物運動の考え方に従って、

軸を決定する
運動の独立性
初期位置、初速度、加速度

の順に考えていきます。

図のようにx軸とy軸をとり（軸の決定）、運動の独立性からxとy成分に分けて（運動の独立性）、初期位置、初速度、加速度を求める（初期条件）。

さっそく公式の証明からいきます。

斜方投射の公式

等加速度運動の公式から斜方投射の速度と位置の公式を求めます。

x軸について

$$\begin{align}v_{x}=&v_{0}\cos\theta\\\\x=&(v_{0}\cos\theta)t\end{align}$$

と求まり、

そしてy軸は

$$\begin{align}v_{y}=&v_{0}\sin\theta-gt\\\\y=&(v_{0}\sin\theta)t-\frac{1}{2}gt^2\end{align}$$

と求まります。

これの式からx軸には等速直線運動、y軸には鉛直投げ上げ運動をしていることが分かりますね。

こういうところで、今まで勉強してきた基礎が応用されています。

こうやって公式が導ければ、暗記量が少なくても物理の問題に対応することが出来ます。

斜方投射の公式

x軸
速度 : $v_{x}=v_{0}\cos\theta$
位置 : $x=(v_{0}\cos\theta)t$

y軸
速度 : $v=v_{y}=v_{0}\sin\theta-gt$
位置 : $y=(v_{0}\sin\theta)t-\frac{1}{2}gt^2$

斜方投射の軌道を見る

では斜方投射の位置の公式から$t$を消去して$y$を求めます。

ｘの位置の式より、

$$t=\frac{x}{v_{0}\cos\theta}$$

と求まる。これをyの位置の公式に代入します。

$$\begin{align}y=&(v_{0}\sin\theta)\frac{x}{v_{0}\cos\theta}-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_{0}\cos\theta})^2\\\\=&x\frac{\sin\theta}{\cos\theta}-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_{0}^2}\frac{1}{\cos^2\theta}\\\\=&-\frac{1}{2}g\frac{1}{v_{0}^2\cos^2\theta}(x-\frac{v_{0}^2\sin2\theta}{2g})^2+\frac{v_{0}^2\sin^2\theta}{2g}\end{align}$$

最後は平方完成しただけです。

これをy-xグラフ図示。