こんにちは、ほーたです。
反発係数。
定義をあやふやに覚えると問題でミスってしまいます。
公式と違って、反発係数は定義なのでこれはしっかり理解する事が必要です。
色々な問題で応用できるように反発係数の定義をわかりやすく書いたので、
しっかり覚えて下さいね。
反発係数を理解し、様々な応用問題でも使えるようにする。
目次
反発係数とは
反発係数の公式は、定義そのままなので、
しっかり覚えて理解しましょう。
反発係数の公式
$$\begin{align}e=&\frac{衝突面と垂直に離れる速さ}{衝突面と垂直に近づく速さ}\\\\=&\frac{|v_{\perp}’-V_{\perp}’|}{|v_{\perp}-V_{\perp}|}\end{align}$$
これが反発係数の一般的な定義。
これは、2物体が衝突する時を想定した式。
物体1の速度を\(v\)、物体2の速度を\(V\)として、反発係数を定義しています。
このように覚えておけば、反発係数の問題は簡単に扱うことが出来きるのです。
あまりイメージがわかないと思うので、反発係数の2パターンで理解を深めましょう。
反発係数の2パターン
反発係数は2パターンります。
- 固定された面に衝突する時
- 動く物体に衝突する時
それぞれについて説明していきます。
固定された面に衝突する時
図のように、垂直に速度\(v\)で入射する時、
どのような速度で跳ね返さるか求めましょう。
固定された面に衝突するので\(|V|=|V’|=0\)なので、入射する物体の速度だけを考えれば良いという事になります。
$$\begin{align}&e=\frac{|v’-0|}{|v-0|}\\\\\Leftrightarrow&|v’|=e|v|\end{align}$$
【注意】斜めに入射する場合
次は、角度\(\theta\)で速度\(v\)で入射する時の跳ね返される速度を求めましょう。
これは、定義をしっかり注目してほしいです。
「垂直に」とあります。
つまり、速度を分解して垂直成分だけ考えればいいという事ですね。
$$\begin{align}&e=\frac{|v’_{\perp}-0|}{|v\sin\theta-0|}\\\\\Leftrightarrow&|v’_{\perp}|=e|v\sin\theta|\end{align}$$
水平成分と垂直成分の速度を合わせて、
$$\begin{align}|v’|=&\sqrt{v_{\perp}^2+v_{\parallel}^2}\\\\=&|v|\sqrt{\cos^2\theta+e^2\sin^2\theta}\end{align}$$
と求まりました。
動く物体に衝突する時
次は、2物体が衝突する時です。
例えば、図のように速度\(v\)の物体Aが速度\(V\)の物体Bに衝突する時を考えます。
$$e=\frac{|v’-V’|}{|v-V|}$$
ここで上の定義式が本領を発揮します。
2物体の時にも扱えるように、あのように定義式を書いているという事です。
ポイントは、\((|v-V|)\)も\((|v’-V|)\)も相対速度の絶対値だという事。
2物体の時は相対速度の絶対値の比をとることで、反発係数が求められます。
それぞれの物体の速さの大小や進行方向から絶対値が外せます。
今回の図では、
衝突前は物体Aが右向きに進み、物体B左向きに進むので、\(v-V>0\)となり、
衝突後は物体Aが左向きに進み、物体Bは右向きに進むので、\(V’-v’>0\)となります。
$$e=\frac{v-V}{V’-v’}$$
これに関しては、問題によって臨機応変に対応しましょう。
反発係数の３つの種類
1．\(e=1\) : （完全）弾性衝突→力学的エネルギーが保存する
2．\(0<e<1\) : 非弾性衝突→力学的エネルギーは保存しない
3．\(e=0\) : 完全非弾性衝突→力学的エネルギーは保存しない
弾性衝突
これは反発係数\(e=1\)の時の衝突のことです。
速さ100で入射すると速さ100で跳ね返るという事。
この場合のみ力学エネルギーが保存します。
つまり、
弾性衝突⇔\(e=1\)⇔力学的エネルギー保存
という事ですね。
これは問題文に出たら瞬時に判断してほしいです。
非弾性衝突
非弾性衝突は、例えば、
速度100で入射すると速度80で跳ね返る、という事です。
運動エネルギーが失われていますね。
つまり、この場合は力学的エネルギーが失われる。という事です。
この失われたエネルギーは、例えば、
熱になったり、音になったりします。
完全非弾性衝突
これは速度100で入射するとはね返らずに、静止する時をいいます。
完全に運動エネルギーが失われることになります。
衝突問題を解くときは、反発係数や運動量保存則を扱うといいです。
これマジ大事。
まとめ
このまとめを見て、記事の内容を説明できるまで反復しましょう。
反発係数の定義
\(e=\frac{|v_{\perp}’-V_{\perp}’|}{|v_{\perp}-V_{\perp}|}\)
反発係数の2パターン
1．固定された面に衝突する
2．動く物体に衝突する
反発係数の３つの種類
1．\(e=1\) : （完全）弾性衝突→力学的エネルギー保存
2．\(0<e<1\) : 非弾性衝突→力学的エネルギー保存しない
3．\(e=0\) : 完全非弾性衝突→力学的エネルギー保存しない
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