こんにちは、ほーたです。
弧度法と度数法。
今までは円の1周を360°で扱っていたと思いますが、
物理では違うこれとは異なる表記を使います。
これは物理で円運動や波動などですごく重要になるので、
必ず理解したいところです。
それでは解説していきます。
度数法と弧度法の違いを理解し、スラスラ扱えるようにする。
目次
度数法と弧度法
角度には2種類あります。
それが度数法と弧度法です。
度数法・・・円の1周を表す角度が360°
弧度法・・・円の1周を表す角度が2\(\pi\)rad
公式 : \(\theta\)[rad]=\(\Theta\)[度]\(\times\)\(\displaystyle\frac{\pi}{180}\)
この弧度法の角度の単位radはラジアンと読みます。
公式からわかるように、1 rad = \(\displaystyle\frac{180}{\pi}\)[度]になるという事ですね。
イメージとしては、度数法は円1周を360等分し、
弧度法では円の1周を2\(\pi\)等分しているイメージです。
すごい大事なことなので、しっかり理解して下さい。
そして、ラジアンがあることのメリットは弧長の公式が扱いやすいという事です。
これを次の章で説明します。
弧長の公式
半径\(r\)、中心角\(\theta\)[rad]の弧長\(l\)の公式
\(l=r\theta\)
この公式の中心角の単位がラジアンという事です。
円周率とラジアンの関係
円周率とは、円の直径\(2r\)と円周長\(x\)の比のことで、
\(\pi\)のことです。
つまり、
$$x=\pi\times 2r$$
という事です。
半径1の円（単位円）の円周を2\(\pi\)にすることで、
公式を扱う時に便利になります。
弧長の公式の求め方
この\(x=\pi\times 2r\)の関係式から弧長の公式を求めていきます。
例えば、中心角が\(\pi/4\)の時、これは円の1周の角度\(2\pi\)の1/8になります。
この時、弧長は円周長の1/8になることが予想できますね。
このように、
中心角\(\theta\)が\(1/a\)倍になると弧長も\(1/a\)倍になります。
なので
$$x\times\frac{1}{a}=2\pi r\times\frac{1}{a}$$
となります。
ここで、
$$\begin{align}l=&x\times\frac{1}{a}\\\\\theta=&\frac{2\pi}{a}\end{align}$$
とすると、
$$l=r\theta$$
と分かります。
度数法で角度が与えられた場合
もし角度が度数法\(\Theta\)[度]で与えられた場合は、次のように弧長を求めます。
$$l=r\times\Theta\times\frac{2\pi}{360}$$
演習問題で理解を深める
演習問題で理解を深めましょう。
問題
(1)．角度60度をラジアンに直す。
(2)．半径3の円について、中心角120度の時の弧長。
(3)．3ラジアンを度数法に直す。
(4)．半径2の円について、中心角1ラジアンの時の弧長。
(5)．半径\(\pi\)の円について、中心角\(\pi/3\)の時の弧長。
(6)．角度\(\pi/5\)ラジアンを度数法に直す。
(7)．角度450度をラジアンに直す。
答え
(1)．角度60度をラジアンに直す。
60\(\times\displaystyle\frac{\pi}{180}\)=\(\displaystyle\frac{\pi}{180}\)rad
(2)．半径3の円について、中心角120度の時の弧長。
3\(\times\)120\(\times\displaystyle\frac{\pi}{180}\)=\(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\)
(3)．3radを度数法に直す。
3\(\times\displaystyle\frac{180}{\pi}\)=\(\displaystyle\frac{540}{\pi}\)度
(4)．半径2の円について、中心角1radの時の弧長。
2\(\times\)1=2
(5)．半径\(\pi\)の円について、中心角\(\pi/3\)度の時の弧長。
\(\pi\times\displaystyle\frac{\pi}{3}\times\displaystyle\frac{\pi}{180}\)=\displaystyle\frac{\pi^3}{540}\)
(6)．角度\(\pi/5\)radを度数法に直す。
\(\displaystyle\frac{\pi}{5}\times\displaystyle\frac{180}{\pi}=36\)度
(7)．角度450度をラジアンに直す。
450\(\times\displaystyle\frac{\pi}{180}\)=\(\displaystyle\frac{5\pi}{2}\)rad
まとめ
このまとめを見て、記事の内容を説明できるまで反復しましょう。
度数法・・・円の1周の角度を360°としている
弧度法・・・円の1周の角度を2\(\pi\)としている
\(theta\)[rad]=\(Theta\)[度]\(\times\displaystyle\frac{\pi}{180}
弧長の公式 : \(l=r\theta\)
それでは。
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